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0.1.双曲函数与反三角函数

\[ \alpha =\arcsin {x}=\arccos{\sqrt{1-x^2}}=\arctan{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=\text {arccot}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}} \]

\[ \beta=\arcsin{\sqrt{1-x^2}}=\arccos{x}=\arctan{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}=\text {arccot}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \]

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\[ \sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x}. \]

\[ {(\sec x)}^{'}=\tan x\cdot\sec x,{(\csc x)}{'}=-\cot x\cdot\csc x. \]

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\[ {(\arcsin x)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},{(\arccos x)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]

\[ {(\text{arcsh}\ x)}'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},{(\text{arcch}\ x)}'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}. \]

\[ {(\arctan x)}^{'}=\frac{1}{1+x^2},{(\text {arccot}\ x)}^{'}=-\frac{1}{1+x^2}. \]

\[ {(\text{arcth}\ x)}'=\frac{1}{1-x^2}\ (-1<x<1),{(\text{arccth}\ x)}'=\frac{1}{1-x^2}\ (x<-1,x>1). \]

\[ {(\text {arcsec}\ x)}^{'}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},{(\text {arccsc}\ x)}^{'}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}. \]

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\[ e^{ix}=\cos x+i\sin x \]

\[ e^x=\ch x+\sh x \]

\[ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\tan x=\frac{1}{i}\cdot \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}. \]

\[ \ch x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\sh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\th x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}. \]

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\[ i\sh x=\sin ix\quad or\quad i\sin x=\sh ix \]

\[ \ch x=\cos ix\quad or\quad \cos x=\ch ix \]

\[ i\th x=\tan ix\quad or\quad i\tan x=\th ix \]

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\[ \text {arcsh}\ x=\ln (x+\sqrt{1+x^2}),\arcsin x=\frac{1}{i}\cdot\ln (ix+i\sqrt{1-x^2}) \]

\[ \text {arcch}\ x=\ln {(x+\sqrt{x^2-1})},\arccos x=\frac{1}{i}\cdot\ln (x+\sqrt{x^2-1}) \]

\[ \text {arcth}\ x=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},\arctan x=\frac{1}{i}\cdot \ln\sqrt{\frac{1+ix}{1-ix}} \]

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\[ i\ \text{arcsh}\ x=\arcsin ix\quad or\quad i\arcsin x=\text{arcsh}\ ix \]

\[ \text{arcch}\ x=\arccos ix\quad or\quad \arccos x=\text{arcch}\ ix \]

\[ i\ \text{arcth}\ x=\arctan ix\quad or\quad i\arctan x=\text{arcth}\ ix \]

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$ \newcommand{\x}{0}\newcommand{\bitsize}{2mm}\newcommand{\b}[1]{\color{#1}\rule[\x mm]{\bitsize}{\bitsize}}\newcommand{\bw}{\bitsize}\newcommand {\w}{26mm}\newcommand{\rx}[1]{\renewcommand{\x}{#1}} \newcommand{\k}{\kern{-\w}} \b{#281e0b}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff} \k\rx{2}\b{#493615}\b{#896727}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff} \k\rx{4}\b{#fff}\b{#493615}\b{#684e1e}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff} \k\rx{6}\b{#fff}\b{#fff}\b{#493615}\b{#896727}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#181818}\b{#fff} \k\rx{8}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#493615}\b{#684e1e}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#181818}\b{#fff}\b{#181818} \k\rx{10}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#493615}\b{#896727}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#181818}\b{#d8d8d8}\b{#181818} \k\rx{12}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#493615}\b{#684e1e}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#fff}\b{#181818}\b{#c1c1c1}\b{#181818} \k\rx{14}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#493615}\b{#896727}\b{#281e0b}\b{#fff}\b{#181818}\b{#c1c1c1}\b{#181818} \k\rx{16}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#493615}\b{#684e1e}\b{#281e0b}\b{#c1c1c1}\b{#d8d8d8}\b{#181818} \k\rx{18}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#493615}\b{#d8d8d8}\b{#c1c1c1}\b{#181818}\b{#fff} \k\rx{20}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#444}\b{#181818}\b{#181818}\b{#181818}\b{#c1c1c1}\b{#c1c1c1}\b{#896727}\b{#281e0b}\b{#fff} \k\rx{22}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#444}\b{#fff}\b{#d8d8d8}\b{#c1c1c1}\b{#c1c1c1}\b{#d8d8d8}\b{#444}\b{#493615}\b{#684e1e}\b{#fff} \k\rx{24}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#444}\b{#444}\b{#444}\b{#444}\b{#444}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff}\b{#fff} $