10.1.Describe a Vector Feild

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1.1.梯度(grad)

对于数量集函数\(f(x, y)\)，其\(\mathbf{l}\)方向上的方向导数为：

\[ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}=\mathbf{e_l}\cdot (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})^T \]

将\((\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})^T\)记作数量集函数\(f\)的梯度：

\[ \nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})^T \]

有以下推论：

1. 当单位向量\(\mathbf{e_l}\)与梯度\(\nabla f\)重合时，此方向上单位导数取得最大值，即\(\nabla f\)方向为函数值增长最快方向；

2. 当\(\mathbf{e_l}\cdot\nabla f=0\)时，此方向上方向导数恒为\(0\)，即\(\nabla f\)方向恒垂直于其等值线。

3. 梯度与保守场

\(\nabla\)算子将数量集函数\(f\)映射到向量集函数\(\mathbf{F}=(P(x, y), Q(x, y))\)，将向量场\(\mathbf{F}\)称为\(f\)的梯度场。

因此对于向量场\(\mathbf{F}\)分量\(P(x, y), Q(x, y)\)，总能找到一个标量场\(f\)，使得：

\[ P=\frac{\partial f}{\partial x}, Q=\frac{\partial f}{\partial y} \]

假设平面曲线\(L\)可利用\(x=\lambda(t), y=\mu(t)\)参数化表示，则在曲线\(C\)上：

\[ \frac{\text{d}f}{\text{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\text{d}y}{\text{d}t} \]

\[ f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})=\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{F}\text{d}\mathbf{s}=\int_L\mathbf{F}\text{d}\mathbf{s} \]

可以看出，梯度场\(\mathbf{F}\)从\(A\)到\(B\)的积分值与积分路径无关，只与积分的起点与终点有关，因此将\(\mathbf{F}\)称为保守场，将标量场\(f\)称为保守场\(\mathbf{F}\)的势。

由以上性质，若对保守场\(\mathbf{F}\)中的环路\(C\)积分，则有：

\[ \oint_C \mathbf{F}\text{d}\mathbf{s}=0 \]

• 判断保守场

若向量场\(\mathbf{F}(x, y)=(P, Q)\)是保守的，总能找到一个标量场\(f\)，使得：

\[ P=\frac{\partial f}{\partial x}, Q=\frac{\partial f}{\partial y} \]

由于标量场\(f\)光滑且连续，因此：

\[ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y} \]

\[ 即：\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \]

我们证明了其必要条件，现在证明充分条件：

定义\(\nabla\)算子：\(\nabla = (\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \cdot\cdot\cdot)\)。

对于二维标量场\(f\)，\(\nabla\)算子与其作点积将\(\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\)，即：

\[ \nabla\cdot f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \]

对于二维向量场\(\mathbf{F}\)，\(\nabla\)算子与其作叉积将\(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\)，即：

\[ \nabla \times \mathbf{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \]

考虑到以下等式恒成立：

\[ \nabla \times (\nabla \cdot f)=0 \]

若对于二维向量场\(\mathbf{F}=(P, Q)\)，有\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\)，则：

\[ \nabla \times \mathbf{F}=0 \]

即必定存在一个标量场\(f\)，使得\(\mathbf{F}=\nabla \cdot f\)，即向量场\(\mathbf{F}\)是保守的，标量场\(f\)是该保守场的势。

因此\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\)是\(\mathbf{F}＝(P, Q)\)为保守场的充要条件。

关于\(\nabla\)算子的更多性质，会在下面的章节中介绍。

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1.2.通量与散度(div)

向量集函数\(\mathbf{F}(x,y)\)表示一个平面流体的速度场，其通过曲线\(L\)的通量可表示为：

\[ B＝\int _L \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\text{d}s \]

其中\(\mathbf{n}\)垂直于曲线\(L\)一小段弧长\(s\)的切方向\(\mathbf{s}\)。

当该速度场通过闭合曲线\(C\)时，规定向外为正方向，其通量可表示为：

\[ B＝\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\text{d}s \]

假定在平面向量场\(\mathbf{F}=(P, Q)\)中一点\((x_0, y_0)\)邻域内由\((x_0+\Delta x, y_0)，(x_0, y_0+\Delta y)，(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)\)确定的矩形\(D\)围成，通过该领域的总通量为：

\[ B＝(\frac{\partial P_0}{\partial x}+\frac{\partial Q_0}{\partial y})\Delta x\Delta y \]

我们关心向量场\(\mathbf{F}\)在各区域的通量密度，因此定义向量场\(\mathbf{F}\)的散度(div)为：

\[ \text{div} \mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} \]

考虑矩形\(D\)的相邻区域\(D_1, D_2, D_3\)。流入相邻区域的通量等大且反向，因此对于更大的封闭区域C我们只需要关心边界的流入与流出情况。基于上述思路，我们不加证明地给出\(\text{Green}\)公式的通量形式:

\[ \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\text{d}s=\iint _C \nabla \cdot \mathbf{F}\text{d}\sigma \]

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1.3.旋度(curl)

向量集函数\(\mathbf{F}(x,y)\)表示一个平面流体的速度场，规定逆时针为正方向，其通过闭合曲线\(C\)的旋量可表示为：

\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{r}\text{d}s \]

基于上述思路，我们同样可以定义向量场\(\mathbf{F}=(P, Q)\)的旋度：

\[ \text{curl} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \]

同样有\(\text{Green}\)公式的旋量形式：

\[ \oint_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{r}\text{d}s=\iint_C \nabla \times \mathbf{F}\text{d}\sigma \]

根据亥姆霍兹分解(\(\text{Helmholtz Decomposition}\))，任何光滑且快速衰减的二维向量场\(\mathbf{F}\)(无调和)可分解为无旋的梯度场与无散的旋度场，即：

\[ \mathbf{F}=\nabla\cdot\phi+\nabla\times A \]

\[ \nabla\cdot\mathbf{F}=\nabla\cdot(\nabla\cdot \phi) \]

\[ \nabla\times\mathbf{F}=\nabla\times(\nabla\times A) \]

由此可见，任意封闭区域\(D\)的所有散度都由梯度场\(\nabla\cdot\phi\)贡献，而旋度所有都由旋度场\(\nabla\times A\)贡献。若对向量场\(\mathbf{F}\)作正交变换：

\[ \mathbf{F}^{\perp}=\nabla\times\phi+\nabla\cdot A \]

此时对于\(\phi\)与\(A\)，他们此时分别表示\(\mathbf{F}^{\perp}\)的旋度场与梯度场的标量势，因此对\(\mathbf{F}^{\perp}\)旋量形式的\(\text{Green}\)公式：

\[ \oint_C \mathbf{F}^{\perp}\cdot \mathbf{r}\text{d}s=\iint_C\nabla \times\mathbf{F}^{\perp}\text{d}\sigma \]

即：

\[ \oint_C\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\text{d}s=\iint_C\nabla\cdot \mathbf{F}\text{d}\sigma \]

因此，散度和旋度在正交变换下是对偶的，描述向量场\(\mathbf{F}\)的同一性质。

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1.4.平面场的复势

1.4.1.The Property of the VF on Complex Plane

定义复平面\(E\)区域上的函数\(w=f(z)\)在\(z_0\)处的导数：

\[ f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \]

由此可以定义在\(\mathbb{C}\)上在\(z_0\)处的复微分：\(\text{d}f=f'(z_0)\text{d}z\)。不难证明，复微分满足以下性质：

1. \(T(\lambda f)=\lambda T(f)\ \ \ \forall\lambda\in\mathbb{C}\)
2. \(T(f+g)=T(f)+T(g)\)

可见，复微分是\(f\)在\(z_0\)处从\(\mathbb{C}\to\mathbb{C}\)的复线性映射，由于极限存在的唯一性，\(z_0\)处的复线性映射在唯一。不妨令\(f'(z_0)=a+b\text{i}\)，有：

\[ (ax-by)+(bx+ay)\text{i}=f'(z_0)(x+\text{i}y) \]

在\(\mathbb{R}^2\)上，向量\((x,y)\)可描述\(\mathbb{C}\)上任意的\(x+\text{i}y\)。定义运算\(\boldsymbol{J}^2=-\boldsymbol{I}\)，使得\(\boldsymbol{J}(x,y)=(-y,x)\)。相应地在\(\mathbb{C}\)上，有\(\text{i}(x+\text{i}y)=-y+\text{i}x\)，此时被视为在\(\mathbb{R}^2\)上\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}\)的线性映射。对于复微分，

\[ \text{d} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \text{d}x \\ \text{d}y \end{pmatrix} \]

对于\(\mathbb{R}^2\)上的向量场\(\mathbf{f}(x,y)=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\)，有以下结论：

\[ \text{d}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \text{d}x \\ \text{d}y \end{pmatrix} \]

对于\(f(x,y)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)\)在\(\mathbb{R}^2\)上表示的向量场\(\mathbf{f}(x,y)=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\)，满足\(\text{Cauchy–Riemann}\)方程：

\[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \]

\[ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \]

即：\(f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\text{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-\text{i}\frac{\partial u}{\partial y}\)。

在极坐标的形式之下，我们令：\(x=\rho\cos{\phi}, y=\rho\sin{\phi}\)，利用链式法则：

\[ \begin{pmatrix} \text{d} \rho \\ \text{d} \phi \end{pmatrix}\stackrel{\boldsymbol{J_1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \text{d}x \\ \text{d}y \end{pmatrix} \stackrel{\boldsymbol{J_2}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \text{d} u \\ \text{d} v \end{pmatrix} \]

即\(\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J_2}\boldsymbol{J_1}\)：

\[ \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial \rho} & \frac{\partial u}{\partial \phi}\\ \frac{\partial v}{\partial \rho} & \frac{\partial v}{\partial \phi} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \phi}\\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{pmatrix} \]

又\(\boldsymbol{J_2}\)满足\(\text{Cauchy–Riemann}\)方程，故有其在极坐标下的形式：

\[ \frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial v}{\partial \phi} \]

\[ \frac{\partial v}{\partial \rho}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \phi} \]