10.2.Green公式的空间形式
2.1.投影面积与曲面面积
假定过\((x_0, y_0, z_0)\)的平面\(\pi\)由不共线的向量\(\mathbf{u}, \mathbf{v}\)确定，所围成的四边形面积\(S\)为\(|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|\)。设平面\(\alpha\)与平面\(\pi\)的夹角为\(\gamma\)，其单位法向量为\(\mathbf{p}，\)则\(S\)在\(\alpha\)上的投影面积为\(|\mathbf{(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{p}}|\)，即\(|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|\cdot|\mathbf{p}||\cos\gamma|\).
设标量场函数\(z=f(x, y)\)在\((x_0,y_0,z_0)\)处光滑且连续，则在此处的面积微元\(\Delta S\)可表示为：\(\Delta S|\cos \gamma|=\Delta A=\Delta x\cdot\Delta y\)。故\(f\)在区域\(D\)上的曲面面积为(隐函数 or not?)：
\[
\iint_D\frac{1}{|\cos\gamma|}\text{d}\sigma=\iint_D\frac{|\nabla f|}{|\nabla f\cdot \mathbf{p}|}\text{d}\sigma=\iint_D \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\text{d}\sigma
\]
2.2.曲面的通量与Gauss公式
对于空间中光滑且连续的向量场\(\mathbf{F}\)，其通过有向曲面\(\Omega\)的通量为：
\[
B=\iint_\Omega \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\text{d}S
\]
又：\(\text{d}s=\frac{1}{|\cos\gamma|}\text{d}\sigma=\frac{|\mathbf{n}|\cdot|\mathbf{p}|}{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}|}\text{d}\sigma\)，上式可写为(隐函数 or not?)：
\[
B=\iint_\Omega \mathbf{F}\cdot \frac{\nabla f}{|\nabla{f}\cdot\mathbf{p}|}\text{d}\sigma=\iint_\Omega\mathbf{F}\cdot\nabla f\text{d}\sigma
\]
若有向曲面\(\Omega\)闭合，同样有：
\[
B=\oiint_\Omega \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}S
\]
对于空间中光滑且连续的向量场\(\mathbf{F}\)，同样有散度的定义：
\[
\text{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
\]
对于任意的闭合有向曲面\(\Omega\)与其围成的区域\(D\)，有Gauss定理：
\[
\oiint_\Omega \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}S=\iiint_D\nabla\cdot \mathbf{F}\text{d}V
\]
2.2.空间的旋度与Stokes公式
对于平面\(xOy\)上处处光滑且连续的向量场\(\mathbf{f}=(P,Q)\)，我们定义\(\mathbf{f}\)的旋度：
\[
\text{curl}\mathbf{f}=\nabla\times\mathbf{f}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
\]
规定其正方向垂直于\(xOy\)平面向上。
对于空间中处处光滑且连续的向量场\(\mathbf{F}\)，其旋度可分解为分别垂直于\(xOy,yOz,xOz\)方向，故我们定义空间向量场\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)旋度：
\[
\text{curl}\mathbf{F}=\nabla\times \mathbf{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})
\]
在三维空间中，\(\nabla\)算子与向量场\(\mathbf{F}\)作叉积将\(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\)，将任意向量场\(\mathbf{F}\)映射为无源且散度处处为\(0\)的的旋度场\(\nabla\times\mathbf{F}\)，即：
\[
\text{div}(\nabla\times\mathbf{F})=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0
\]
设空间中有向曲面\(\Omega\)，其边界曲线为\(C\)。空间中处处光滑且连续的向量场\(\mathbf{F}\)在边界曲线\(C\)上的线积分可以表示为\(\mathbf{F}\)的旋度场通过曲面\(\Omega\)的通量，即Stokes定理：
\[
\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}\text{d}s=\iint_\Omega (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\text{d}S
\]
设单位法向量\(\mathbf{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)，则\(\mathbf{n}\text{d}S=(\text{d}y\text{d}z,\text{d}x\text{d}z,\text{d}x\text{d}y)\)。所以有：
\[
\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}\text{d}s=\iint_D (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\text{d}y\text{d}z+(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})\text{d}x\text{d}z+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\text{d}x\text{d}y
\]
对于拥有相同边界曲线\(C\)(方向相同)的曲面\(\Omega_1,\Omega_2\)，$由Stokes定理：
\[
\iint_{\Omega_1}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\text{d}S=\iint_{\Omega_2}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\text{d}S
\]
即场\(\mathbf{F}\)的旋度场\(\nabla\times\mathbf{F}\)穿过任意边界相同(方向相同)的有向曲面的通量相同。
对于空间中封闭的有向曲面\(\Omega\)可被曲面上任意曲线\(C\)分为曲面\(\Omega_1,\Omega_2\)，由Stokes定理：
\[
\iint_{\Omega_1}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\text{d}S=-\iint_{\Omega_2}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\text{d}S
\]
即对于任意的封闭有向曲面\(\Omega\)与空间中光滑且连续的向量场\(\mathbf{F}\)，有以下推论：
\[
\oiint_\Omega(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\text{d}S=0
\]
又有Gauss定理：
\[
\oiint_\Omega (\nabla\times\mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\text{d}S=\iiint_D\nabla\cdot( \nabla\times\mathbf{F})\text{d}V=0
\]
旋度场中散度处处为\(0\)，且通过任意有向封闭曲面的通量为\(0\)。
当有向曲面\(\Omega\)为平面\(xOy\)上的封闭区域\(D\)时，Stokes定理退化为格林公式的旋量形式：
\[
\oint_C\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}\text{d}s=\iint_D \nabla\times\mathbf{F}\text{d}\sigma
\]
2.3.统一的微积分基本定理
我们有牛顿-莱布尼茨定理：
\[
f(b)-f(a)=\int_a^b \frac{\text{d}f}{\text{d}x}\text{d}x
\]
在一维的情形下，不妨将微商运算符\(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\)写作\(\nabla\)运算符，其意义依然表示在\(x_0\)点邻域内的线性变换。在一维向量场内，\(\mathbf{f}(b)-\mathbf{f}(a)\)表示向量场在区域\(L[a,b]\)处流入流出情形。于是可将上述写作Green公式在一维情形下的通量形式：
\[
\mathbf{f}(b)-\mathbf{f}(a)=\int_{L[a,b]}\nabla \cdot\mathbf{f}\text{d}x
\]
于是我们有以下在\(\nabla\)算符下统一形式的微积分基本定理：
\[
\mathbf{f}(b)-\mathbf{f}(a)=\int_{L}\nabla \cdot\mathbf{f}\text{d}x
\]
\[
\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\text{d}s=\iint _C \nabla \cdot \mathbf{F}\text{d}\sigma
\]
\[
\oiint_\Omega \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}S=\iiint_D\nabla\cdot \mathbf{F}\text{d}V
\]