2.Jacobi矩阵与隐映射复合
2.1.向量集映射与Jacobi矩阵
考虑向量集函数\(\mathbf{z}=f(\mathbf{v})，\mathbf{v}=(x,y)^{\mathbf{T}}\)在\((x_0,y_0)\)处微分：
\[
f(\mathbf v+\mathbf h)-f(\mathbf v)=J\cdot\mathbf h+o(||\mathbf h||)，\mathbf h \to \mathbf 0
\]
其中\(o(||\mathbf h||)\)为\(||\mathbf h||\)的高阶无穷小，因此\(f(\mathbf v)\)在\((x_0,y_0)\)处任意方向\(\mathbf h\)的增量可近似于增量\(\mathbf h\)的线性函数：
\[
df(\mathbf v)=J\cdot\mathbf h
\]
对于更为具体的向量集函数\(F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))^{\mathbf T}\)，其微分可表示为：
\[
dF(x,y)=
\begin{pmatrix}
dP\\
dQ
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\nabla P\\
\nabla Q
\end{pmatrix}\cdot\mathbf h=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y}\\
\frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial x}
\end{pmatrix}\cdot\mathbf{h}
\]
因此我们确定二维向量集函数\(\mathbf{z}=f(\mathbf{v})\)的Jacobi矩阵：
\[
J=\begin{pmatrix}
\frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y}\\
\frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial x}
\end{pmatrix}
\]
对于二维值函数\(z=f(x,y)\)，有\(dz=\nabla f\cdot\mathbf{h}\)，\(\nabla f\)为值函数\(z=f(x,y)\)的Jacobi矩阵，被视为一个二维向量向量到值的映射。
2.2.链式法则的Jacobi矩阵形式
对于二维的复合值函数\(z=F(\lambda(x,y),\mu(x,y))\)，其微分为：
\[
dz=\nabla F\cdot
\begin{pmatrix}
d\lambda \\
d\mu
\end{pmatrix}=
\nabla F \cdot
\begin{pmatrix}
\nabla \lambda \\
\nabla \mu
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}=
\nabla F\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{\partial \lambda}{\partial x} & \frac{\partial \lambda}{\partial y}\\
\frac{\partial \mu}{\partial x} & \frac{\partial \mu}{\partial y}
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
\]
对于更为普遍的复合函数，链式法则展示了一种\(n\)维向量通过对应Jacobi矩阵的一种链式映射关系。
如上述的复合函数\(z=F(\lambda(x,y),\mu(x,y))\)，可视为下述的链式映射：
\[
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}
\stackrel{J_{(\lambda,\mu)}}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix}
d\lambda\\
d\mu
\end{pmatrix}
\stackrel{J_F}{\longrightarrow}
dz
\]
2.3.隐函数与隐映射
对于隐函数\(f(x_1,x_2,x_3)=0\)，可以确定唯一的映射：\(x_i=x_i(x_j,x_k)\)。对函数\(f\)微分：
\[
df=\nabla f\cdot
\begin{pmatrix}
\nabla x_1 \\
\nabla x_2 \\
\nabla x_3
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
dx_1 \\
dx_2
\end{pmatrix}=
\nabla f\cdot
\begin{pmatrix}
I\\
\nabla x_3
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
dx_1 \\
dx_2
\end{pmatrix}
\]
解出\(\nabla x_3\)：
\[
\nabla f_{(x_1,x_2)}+\frac{\partial f}{\partial x_3}\nabla x_3=0
\]
即：\(\nabla x_3=-{(\frac{\partial f}{\partial x_3})}^{-1}\nabla f_{(x_1,x_2)}\)。
对于隐函数方程组：
\[
\left\{
\begin{matrix}
F_1(x,y,\lambda,\mu)=0 \\
F_2(x,y,\lambda,\mu)=0
\end{matrix}
\right.
\]
可以确定唯一隐映射：
\[
\left\{
\begin{matrix}
\lambda = \lambda(x,y) \\
\mu = \mu(x,y)
\end{matrix}
\right.
\]
对\(F_1，F_2\)微分：
\[
\left\{
\begin{matrix}
dF_1=\nabla F_1\cdot J_{(\lambda,\mu)}\cdot\mathbf{h} \\
dF_2=\nabla F_2\cdot J_{(\lambda,\mu)}\cdot\mathbf{h}
\end{matrix}
\right.
\]
不妨写作以下形式：
\[
d\mathbf{F}=
\begin{pmatrix}
dF_1 \\
dF_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\nabla F_1 \\
\nabla F_2
\end{pmatrix}\cdot
J_{(\lambda,\mu)}\cdot\mathbf{h}=
J_F\cdot J_{(\lambda,\mu)} \cdot \mathbf{h}
\]
由于微分的形式不变性，对\(\mathbf F\)的微分依然可以视作对应Jacobi矩阵的链式映射法则：
\[
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}
\stackrel{J_{(\lambda,\mu)}}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix}
d\lambda\\
d\mu
\end{pmatrix}
\stackrel{J_F}{\longrightarrow}
d\mathbf F
\]
不妨将\(J_F\)分块为：\((J_{F_{(x,y)}}\ \ \ J_{F_{(\lambda,\mu)}})，|J_F|\ne 0\)，有：
\[
d\mathbf{F}=
\begin{pmatrix}
J_{F_{(x,y)}} & J_{F_{(\lambda,\mu)}}
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
I \\
J_{(\lambda,\mu)}
\end{pmatrix}\cdot
\mathbf{h}=
(J_{F_{(x,y)}}+J_{F_{(\lambda,\mu)}}J_{(\lambda,\mu)})\cdot\mathbf{h}
\]
解出\(J_{(\lambda,\mu)}\)：
\[
J_{(\lambda,\mu)}=-{(J_{F_{(\lambda,\mu)}})}^{-1}J_{F_{(x,y)}}
\]